Пределы и непрерывность функций

Предел функции.

Сначала надо договорится, что же такое функция. Введем понятие области определения функции, т.е. вообще говоря некоторое множество (которое может быть конечным), к которому мы можем “применить” нашу функцию $f$. Введем понятие области значения функций, как некоторое множество (которое тоже может быть конечным), которое получается в результате “применения” функции к элементу из ее области определения. Будем говорить, что задана функция $f$ если:

Для любого элемента из области определения $X$ поставлен в соответствие единственный элемент из области значений $Y$: $f: X \rightarrow Y$.

Сейчас я рассматриваю функции от числового аргумента, таким образом область определения функции $X \in \mathbb{R}$, тоже самое для области значения $Y \in \mathbb{R}$. Сразу можно заметить, что множество определения функции может быть получено с помощью другой функции, тогда такие функции называют сложными функциями:

Пусть даны множества $X, Y \in \mathbb{R}$ и пусть даны две функции $y: Y \to \mathbb{R}, f: X \to \mathbb{R}$, причем $y(Y) \in X$. Тогда функция $\phi : Y \to \mathbb{R} = f(y(x))$ называется сложной функцией.

Хорошо, мы определились с поняти функции и теперь можно поговорить про предел функции. Интересно подметить, что наблюдается некая аналогия с пределами последовательностей, а именно согласно определению последовательности, как множества, где каждому элементу поставленно в соответствие действительное число (причем единственное), его можно переписать в терминах функции. И поэтому сразу поставим вопрос, а существуют эквивалентное определение предела функции? И да, существуют, причем два знаменитых определения по Коши и по Гейне. Рассмотрим сначала определение предела функции по Коши:

Пусть задана функция $f: X \rightarrow \mathbb{R}$. Так же пусть заданы числа $A, x_0 \in \overline{\mathbb{R}} \cup {\infty}$, причем существует проколотая $\delta$-окрестность точки $x_0$, лежащая в $X$: $\exists \delta_0 >0 \ \stackrel{0}{U_{\delta_0}}(x_0) \in X$. Тогда говорят, что предел функции $f$ при $x \to x_0$ равен $A$, если

\[\forall \varepsilon >0\ \exists \delta=\delta(\varepsilon) \in (0, \delta_0) \ \forall x \in \stackrel{0}{U_{\delta}}(x_0) \to f(x) \in U_{\varepsilon}(A).\]

Т.е. если с любой наперед заданной окрестностью точки $A$ существует окрестность точки $x_0$, такая, что для любых аргументов функции из этой проколотой окрестности значении этой функции будет лежать в окрестности точки $A$, то функция имеет предел в точке $x_0$ равный $A$. Интересно заметить, что функция может быть не определена в этой точке: проколотая окрестность точки $x_0$ должна лежать в области определения, но сама точка может там не лежать. Пример: $f(x) = 1/x$: определена везде, кроме нуля, но в нуле есть передел, равный $+\infty$. Покажем это:

\[\forall \varepsilon\ \exists \delta=\varepsilon\ \forall x \in (0 < x< \varepsilon) \to f(x) = 1/x > 1/\varepsilon.\]

Но это не единственное определение предела функции. Рассмотрим определение предела функции по Гейне:

Пусть задана функция $f: X \rightarrow \mathbb{R}$. Так же пусть заданы числа $A, x_0 \in \overline{\mathbb{R}} \cup {\infty}$, причем существует проколотая $\delta$-окрестность точки $x_0$, лежащая в $X$: $\exists \delta_0 >0 \ \stackrel{0}{U_{\delta_0}}(x_0) \in X$. Тогда говорят, что предел функции $f$ при $x \to x_0$ равен $A$, если для любой последовательности ${x_n}$, такой, что

\[\{x_n\} \in X \\ \lim_{n\to\infty} x_n = x_0 \\ \forall n \to x_n \ne x_0\]

выполняется, что предел последовательности ${f(x_n)}$ равен $A$.

Другими словами, если для любой последовательности точек из множества определения функции, таких, что они сходятся к точке $x_0$, последовательность ${f(x_n)}$ сходится к $A$, то и функция имеет передел в этой точке, равный $A$.

В принципе, это вполне интуитивно понятно, что определение предела по Коши и определение предела по Гейне эквиваленты, но существует теорема, доказывающая их эквивалентность. И на самом деле, это очень важная теорема, так как уже доказанные теоремы о пределах последовательностей можно распространить на пределы функций. Например, предел суммы функции равен сумме пределов, или более интересная теорема о пределе трех функций: если две функции в точке $x_0$ имеют предел равный $A$ и в проколотой окрестности точки $x_0$ третья функция лежит в интервале первых двух, то третья функция тоже имеет предел равный $A$ (я привел немного корявую формулировку, но думаю идея понятна. А точную формулировку можно найти в ссылках). Далее, по аналогии с последовательностями можно сформулировать критерий Коши существования предела функций:

Функция $f(x)$ имеет предел в точке $x_0$ равный $A$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ найдется такое число $\delta \in (0, \delta_0)$, что для любых $x_1, x_2$ из проколотой $\delta$-окрестности $x_0$ модуль разности $ f(x_1)-f(x_2) < \varepsilon$.

То, что $\delta$ лежит на неком промежутке обеспечивает, что функция будет определена в $\delta$-окрестности $x_0$. Аналогично последовательностям вводится определение монотонных (строго и нестрого) функций. Монотонность функций будет важна впоследствии для некоторых теорем.

Непрерывность функций

Зачем нам понадобился предел функции? Потому что с его помощью можно ввести очень интересные и важные понятия анализа и начнем мы с понятия непрерывности функции в точке:

Функция $f(x)$ определенная в некоторой окрестности точки $x_0$ называется непрерывной в этой точке, если $\lim f(x) = f(x_0)$ при $x \to x_0$.

Другими словами, если в заданной точке существует предел функции и этот предел равен значению функции в этой точке, то такая функция непрерывна в этой точке. Тут возможно несколько случаев. Функция может быть непрерывна слева или справа от точки. Рассмотрим другие важные случаи:

  1. Если функция имеет предел (вообще говоря конечный) в точке $x_0$ но функция либо не определена в этой точке либо предел не равен значению в этой точке, то говорят, что в точке $x_0$ функция имеет устранимый разрыв. Действительно, мы можем переопределить функцию в этой точке, и она будет непрерывной.
  2. Если же при приближении к точке слева и справа значения функций различны, то такая точка является разрывом первого рода.
  3. Если же в какой то точке не существует пределов либо он бесконечен, то такая точка называется разрывом второго рода.

Думаю стоит отметить очень важный момент: предел функции в точке не требует, чтобы функция была определена в этой точке, но это свойство мы используем для того, что бы определить непрерывность. Понятие непрерывности распространяется на суперпозиции функций и на сложные функции. Перечислим некоторые свойства непрерывных функций (я их перечисляю без комментариев и доказательств; за комментариями и доказательствами можно обратиться к литературе):

  1. В результате арифметических операций над непрерывными функциями получается непрерывная функция.
  2. Сложная функция тоже непрерывная если непрерывны $y, f$ (см выше).
  3. Непрерывная функция переводит компакт в компакт
  4. Непрерывная функция на компакте ограничена
  5. Для непрерывных функциях справедлива теорема Больциано-Коши о промежуточных нулях
  6. Непрерывная функция переводит отрезок в отрезок или в точку.

Конечно это не все свойства, их гораздо больше.

Обратная функция

Нужно обязательно упомянуть несколько слов об обратной функции, так как обратные функции очень важны для построения анализа, как будет видно позже. Естественно, начнем с определения обратной функции:

Пусть задана функция $f: X \to Y$, тогда обратной функцией к $f$ назовем такую функцию $g: f(X) \to X$, что для любого $\forall x \in X \to g(f(x)) = x$.

Т.е. обратной функцией по логике вещей называется такая функция, которая переводит область значения исходной функции в единственный (это же функция) элемент области определения исходной функции (математическое определение проще понять, на мой взгляд).

Для более легкого выявления обратных функций вводят понятие обратимой функции:

Функция $f: X \to Y$ называется обратимой если $\forall x_1, x_2 \in X\ x_1 \ne x_2 \to f(x_1) \ne f(x_2)$.

Значит, если у функции все значения заведомо различны, то есть все шансы найти обратную функцию, и действительно, для любого элемента $y$ из множества $f(X)$ можно определить $g(y) = x$ из условия, что $f(x) = y$. И в самом для всех $x$ из области определения значения $y\in f(X)$ различны. Это новая функция $g$ будет удовлетворять определению обратной функции. Вообще существует критерий:

Функция $f: X \to Y$ обратима $\iff$ существует обратная функция к $f$.

На самом деле у нас уже есть один критерий, который дает нам гарантию, что все значения у функции будут различны. Это критерий строгой монотонности, который гласит (для определенности рассмотрим монотонно возрастающую функцию), что для двух любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 > x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. И в самом деле, значения монотонной функции будут различны, коль различны ее аргументы. Причем есть небольшая лемма, показывающая, что обратимость функции сохраняет монотонность, т.е. Если функция монотонно возрастает, то обратная функция тоже будет монотонно возрастать (для монотонно убывающей функции тоже самое). Так же важно отметить теорему об обратной функции, которая связывает монотонность, непрерывность и обратную функцию:

Если функция $f: X \to Y$ строго монотонная и непрерывна на $X$, то обратная функция определена, строго монотонная и непрерывная на $f(X)$.

Таким образом, обратимость очень интересное свойство функций, сохраняющее монотонность и непрерывность. А в заключение поста надо познакомиться с еще одним важным понятием, позволяющим ввести классы эквивалентности для функций.

Классы сравнения функций

Давайте попробуем ответить на простой вопрос. Пусть нам даны две функции $f, g$ определенные в некоторой проколотой окрестности точки $x_0$. Можем ли мы как то сравнить поведение этих функций в окрестности этой точки? Например, рассмотри две функции: $e^x-1, sin(x)$ и взглянем на графики этих функций около нуля.

pairplot.png

Видно, что значения этих функций стремится к нулю при аргументе стремящемся к нулю. Но насколько быстро? Обгоняет ли одна функция другую при стремлении к нулю? Или они одинаково быстры? Для того, что бы иметь возможность отвечать на такие вопросы вводят классы сравнения функций. Сначала рассмотрим эквивалентные функции:

Пусть определены две функции $f, g$ в некоторой проколотой окрестности $\stackrel{o}{U_{\delta}}(x_0)$ и пусть обе функции не обращаются в ноль в этой же окрестности, тогда они называются эквивалентными $f(x) \sim g(x)$ если

\[\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\]

Заметим, что нам не важно поведение или определение функци в самой точке, нам важно что происходит в ее окрестности. Если предел отношения функций при стремлении к некоторой точке равен единице, то мы считаем, что такие функции одинаково себя ведут в окрестности этой точки. Это очень важный момент, так как если мы знаем, что $f(x) \sim g(x)$ в некоторой проколотой окрестности и $g(x) \sim h(x)$ то мы можем заключить, что $f(x) \sim h(x)$. Это очень похоже на теорему о трех функциях (или последовательностях) и доказывается элементарно исходя из арифметических действий с пределами. Отсюда следует важный вывод - под пределом можно заменять функции на эквивалентные. Не стоит забывать, что это класс эквивалентности и то, что $f(x) \sim g(x)$ не означает, что $f(x) = g(x)$ в этой окрестности. Например, $sin(x) \sim x, \ x \to 0$, но о том, что $sin(x) = x$ в этой окрестности мы никак не можем.

Рассмотрим еще один класс сравнения функций называемый о-малое.

Пусть определены две функции $f, g$ в проколотой окрестности $x_0$, причем функция $g$ не обращается в нуль в этой окрестности. Тогда, говорят, что $f$ является бесконечно малой относительно $g$ или $f(x) = o(g(x))$ если

\[\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\]

Таким образом, если мы допустим обращение в нуль функции $f$ в некоторой окрестности, то получим еще один важный класс равнения функций. Легко показать, что если $f(x) \sim g(x)$ тогда и только тогда, когда $f(x) - g(x) = o(g(x))$. По аналогии можно ввести O-большое:

Пусть определены две функции $f, g$ в проколотой окрестности $x_0$. Тогда, говорят, что $f$ является ограниченной относительно $g$ или $f(x) = O(g(x))$ если

\[\exists C\in \mathbb{R} \ \ \forall x \in \stackrel{o}{U_{\delta}}(x_0) \to |f(x)| \leq C|g(x)|\]

Оба класса, o-малое и О-большое представляют собой классы функций для которых справедливы некоторые выражения, например $o(f^n) = o(f)$.

Итак, сначала не совсем понятное введение предела последовательности помогло ввести понятие предела функци и распространить некоторые важные свойства на пределы функций. И овладев таким мощным инструментов удалось ввести важные понятия, такие как непрерывность функции в точке и классы сравнения функций. Но на самом деле - дальше больше). В следующем посту познакомимся с ключевым понятием производной функции.